Behauptung Jede Körpererweiterung L:K vom Grad 2 ist normal. Beweis Wir zeigen Sei $$\alpha\in L\setminus K.$$ hat mindestens Grad 2 über K, das heißt das Minimalpolynom $$m_{\alpha,K}$$ hat mindestens den Grad 2. Nach Voraussetzung hat $$m_{\alpha,K}$$ höchtens den Grad 2. Daher ist $$L = K(\alpha)$$ Sei $$\beta$$ die zweite Nullstelle von $$m_{\alpha,K}$$ $$-(\alpha + \beta)$$ […]
Kategorie: Körpertheorie
Assertion ℚ(i) and ℚ(√2) are isomorphic ℚ vector spaces. Proof i has the minimal polynomial X2 + 1 and √2 has the minimal polynomial X2 – 2. Both have the degree 2, so the elements are algebraic via ℚ. Thus ℚ(i) and ℚ(√2) are ℚ vector spaces of the same dimension 2 and thus isomorphic. […]
Behauptung: ℚ(i) und ℚ(√2) sind isomorphe ℚ-Vektorräume. Beweis: i hat das Minimalpolynom X2 + 1 und √2 hat das Minimalpolynom X2 – 2. Beide haben den Grad 2, die Elemente sind also algebraisch über ℚ. ℚ(i) und ℚ(√2) sind also ℚ-Vektorräume der gleichen Dimension 2 und damit isomorph. Behauptung: ℚ(i) und ℚ(√2) sind als Körper […]
Beweis: Ein Integritätsbereich I ist ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement. Wir müssen also zeigen, dass jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses hat. Sei a ∈ I und a ≠ 0. Wir betrachten eine Abbildung: Es gilt: ax = ay ⇔ a(x-y) = 0 Weil I nullteilerfrei ist und a […]
Berechne alle Nullstellen und deren Vielfachheiten von über . Lösung: Eine Nullstelle ist offensichtlich , d.h. es gilt: Wendet man auf $$X^4-1$$ zweimal die dritte binomische Formel an erhält man:$$(X^4-1) = (X^2-1)(X^2+1) = (X-1)(X+1)(X^2+1)$$ Aus der Gleichung $$X^5-X = X(X-1)(X+1)(X^2+1)$$ kann man nun von links nach rechts 5 Nullstellen ablesen:$$\lambda_1 = 0$$$$\lambda_2 = 1$$$$\lambda_3 = […]
Berechne alle Nullstellen und deren Vielfachheiten von in den Ringen . Lösung 1) $$X^3 – 2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad X^3 = 2$$ hat keine Lösung über ℚ. 2) $$X^3 – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = \sqrt[3]{2}$$ ist eine Lösung. Es gibt ein Polynom $$f \in \mathbb{R}[X]$$ mit $$X^3-2 = (X-\sqrt[3]{2}) […]
Behauptung: Eine unendliche Körpererweiterung L:K hat unendlich viele Zwischenkörper. Beweis: 1. Fall:Es gibt ein , dass transzendent über K ist.Dann hat schon unendlich viele Zwischenkörper. 2.Fall:L:K ist algebraisch. Sei B eine Basis von L:K. B ist unendlich, da L:K unendlich ist. B hat eine abzählbar unendliche Teilmenge (Die sind also aus L\K.) Die Körpererweiterung K(A):K […]