Beweis: Ein Integritätsbereich I ist ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement. Wir müssen also zeigen, dass jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses hat. Sei a ∈ I und a ≠ 0. Wir betrachten eine Abbildung: Es gilt: ax = ay ⇔ a(x-y) = 0 Weil I nullteilerfrei ist und a […]
Schlagwort: Körpertheorie
Berechne alle Nullstellen und deren Vielfachheiten von über . Lösung: Eine Nullstelle ist offensichtlich , d.h. es gilt: Wendet man auf $$X^4-1$$ zweimal die dritte binomische Formel an erhält man:$$(X^4-1) = (X^2-1)(X^2+1) = (X-1)(X+1)(X^2+1)$$ Aus der Gleichung $$X^5-X = X(X-1)(X+1)(X^2+1)$$ kann man nun von links nach rechts 5 Nullstellen ablesen:$$\lambda_1 = 0$$$$\lambda_2 = 1$$$$\lambda_3 = […]
Berechne alle Nullstellen und deren Vielfachheiten von in den Ringen . Lösung 1) $$X^3 – 2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad X^3 = 2$$ hat keine Lösung über ℚ. 2) $$X^3 – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = \sqrt[3]{2}$$ ist eine Lösung. Es gibt ein Polynom $$f \in \mathbb{R}[X]$$ mit $$X^3-2 = (X-\sqrt[3]{2}) […]
Behauptung: Eine unendliche Körpererweiterung L:K hat unendlich viele Zwischenkörper. Beweis: 1. Fall:Es gibt ein , dass transzendent über K ist.Dann hat schon unendlich viele Zwischenkörper. 2.Fall:L:K ist algebraisch. Sei B eine Basis von L:K. B ist unendlich, da L:K unendlich ist. B hat eine abzählbar unendliche Teilmenge (Die sind also aus L\K.) Die Körpererweiterung K(A):K […]
Wir beweisen, dass ein kommutativer Ring mit 1, der Nullteiler besitzt, keine Körper sein kann. Umgekehrt ist solch ein Ring ohne Nullteiler bereits ein Körper. Behauptung: Sei R ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0. Dann gilt:i) Ein Nullteiler ist nie eine Einheit, d.h. ein Ring mit Nullteilern ist kein Körper.ii) (R*,·) ist eine Gruppe.(Menge […]
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Körpererweiterung und Gradsatz
Behauptung Sei L/K eine Körpererweiterung, a ∈ L mit [K(a) : K] ungerade.Dann folgt: K(a) = K(a2). Für [K(a) : K] gerade stimmt die Aussage nicht. Beweis 1.Teil L ist ein Köper, deshalb gilt: a ∈ L ⇒ a2 ∈ L Auch gilt: a2 ∈ K(a) Somit haben wir die Kette: K ⊆ K(a2) ⊆ […]