Körpererweiterung und Gradsatz

Behauptung

Sei L/K eine Körpererweiterung, a ∈ L mit [K(a) : K] ungerade.
Dann folgt: K(a) = K(a²).

Für [K(a) : K] gerade stimmt die Aussage nicht.

Beweis

1.Teil

L ist ein Köper, deshalb gilt: a ∈ L ⇒ a² ∈ L

Auch gilt: a² ∈ K(a)

Somit haben wir die Kette: K ⊆ K(a²) ⊆ K(a)

Nach dem Gradsatz gilt nun:
[K(a) : K] = [K(a) : K(a²)] [K(a²) : K]

Betrachten wir das Polynom p(x) = x² -a² aus K(a²)

Es hat a als Nullstelle.

Das Minimalpolynom von a über K(a²) hat also höchstens Grad 2.

Das bedeutet: [K(a) : K(a²)] ≤ 2

Wenn der Grad gleich 2 wäre, dann wäre [K(a) : K] gerade, was aber nach Vorraussetzung nicht ist.

Das heißt: [K(a) : K(a²)] = 1 ⇔ K(a) = K(a²).

2.Teil

Den zweiten Teil beweisen wir ganz leicht durch ein Gegenbeispiel. Wir nehmen den Körper der rationalen Zahlen und erweitern ihn um die Quadratwurzel aus 2.

Sei K = ℚ und a = √2. Dann gilt:
K(a²) = ℚ(2) = ℚ ≠ ℚ(√2) = K(a).