MathediaAlle Kreise sind ähnliche geometrische Figuren. Alle Kreise haben das gleiche Verhältnis von Umfang U zu Durchmesser D = 2r (r = Radius). Man definiert die Zahl π als dieses Verhältnis: In der Schule lernt man, dass der Flächeninhalt A eines Kreises diese Zahl π multipliziert mit dem Radius zum Quadrat ist: $$A = \pi […]
Behauptung Jede Körpererweiterung L:K vom Grad 2 ist normal. Beweis Wir zeigen Sei $$\alpha\in L\setminus K.$$ hat mindestens Grad 2 über K, das heißt das Minimalpolynom $$m_{\alpha,K}$$ hat mindestens den Grad 2. Nach Voraussetzung hat $$m_{\alpha,K}$$ höchtens den Grad 2. Daher ist $$L = K(\alpha)$$ Sei $$\beta$$ die zweite Nullstelle von $$m_{\alpha,K}$$ $$-(\alpha + \beta)$$ […]
Assertion Every field extension L:K of degree 2 is normal. Proof We show Let $$\alpha\in L\setminus K.$$ has at least degree 2 over K, that means the minimal polynomial $$m_{\alpha,K}$$ has at least degree 2. By assumption $$m_{\alpha,K}$$ has at most degree 2. Therefore is $$L = K(\alpha)$$ Let $$\beta$$ be the second root of […]
Assertion The power set P(M) of a set M with n elements contains 2n elements. Proof base case: n = 0 The set which contains 0 elements is the empty set . Its power set contains 1 element (1 = 20), namely the empty set: . Iinductive step: A(n) => A(n+1) Let be a set […]
Assertion In a boolean ring every prime ideal is a maximal ideal.(A boolean ring is a ring for which x² = x for all x in R, that is, R consists only of idempotent elements.) Proof Let P be a a prime ideal in a boolean ring R with 1.Then is L = R/P a […]
A field extension is Galois, if it’s normal and separable. Every field extension of degree 2 is normal. Proof We need to find a field extension of degree 2 that is not separable. is not separable, because the minimal polynomial $$y^2+x^2$$ of $$x$$ over $$\mathbb{Z}_2 (x^2)$$ has in $$\mathbb{Z}_2 (x)$$ the double zero $$x$$ because […]
Eine Körpererweiterung heißt galoissch, wenn sie normal und separabel ist. Jede Körpererweiterung vom Grad 2 ist normal. Beweis Es gilt, eine nicht separable Körpererweiterung vom Grad 2 zu finden. ist nicht separabel, denn das Minimalpolynom $$y^2+x^2$$ von $$x$$ über $$\mathbb{Z}_2 (x^2)$$ hat in $$\mathbb{Z}_2 (x)$$ die doppelte Nullstelle $$x$$ wegen $$y^2+x^2=(y+x)^2$$
Assertion In a finite ring R, each element is either a zero divisor or a unit (i.e. it has an inverse). Proof If a is a zero divisor then we are done. Let a be no zero divisor. Since R is finite, the set $$\{a^n~|~n \in \mathbb{N}\}$$ is finite. There is $$m,~n \in \mathbb{N}$$ with […]
Assertion ℚ(i) and ℚ(√2) are isomorphic ℚ vector spaces. Proof i has the minimal polynomial X2 + 1 and √2 has the minimal polynomial X2 – 2. Both have the degree 2, so the elements are algebraic via ℚ. Thus ℚ(i) and ℚ(√2) are ℚ vector spaces of the same dimension 2 and thus isomorphic. […]
Aufgabe | Lösung Wir bringen den Faktor mit x auf die rechte Seite und verwenden für y‘ die andere Schreibweise dy/dx $$\begin{align}(x^2+1)\cdot y‘ &= 2x \cdot y^2 \\\\ y‘ &= (x^2+1)^{-1}\cdot 2x \cdot y^2 \\\\ \frac{dy}{dx} &= (x^2+1)^{-1} \cdot 2x\cdot y^2\end{align}$$ Nun behandeln wir dy/dx wie einen normalen Bruch und bringen den „Nenner“ dx auf […]