Behauptung Jede Körpererweiterung L:K vom Grad 2 ist normal. Beweis Wir zeigen Sei $$\alpha\in L\setminus K.$$ hat mindestens Grad 2 über K, das heißt das Minimalpolynom $$m_{\alpha,K}$$ hat mindestens den Grad 2. Nach Voraussetzung hat $$m_{\alpha,K}$$ höchtens den Grad 2. Daher ist $$L = K(\alpha)$$ Sei $$\beta$$ die zweite Nullstelle von $$m_{\alpha,K}$$ $$-(\alpha + \beta)$$ […]
Kategorie: Galoistheorie
Assertion Every field extension L:K of degree 2 is normal. Proof We show Let $$\alpha\in L\setminus K.$$ has at least degree 2 over K, that means the minimal polynomial $$m_{\alpha,K}$$ has at least degree 2. By assumption $$m_{\alpha,K}$$ has at most degree 2. Therefore is $$L = K(\alpha)$$ Let $$\beta$$ be the second root of […]
A field extension is Galois, if it’s normal and separable. Every field extension of degree 2 is normal. Proof We need to find a field extension of degree 2 that is not separable. is not separable, because the minimal polynomial $$y^2+x^2$$ of $$x$$ over $$\mathbb{Z}_2 (x^2)$$ has in $$\mathbb{Z}_2 (x)$$ the double zero $$x$$ because […]
Eine Körpererweiterung heißt galoissch, wenn sie normal und separabel ist. Jede Körpererweiterung vom Grad 2 ist normal. Beweis Es gilt, eine nicht separable Körpererweiterung vom Grad 2 zu finden. ist nicht separabel, denn das Minimalpolynom $$y^2+x^2$$ von $$x$$ über $$\mathbb{Z}_2 (x^2)$$ hat in $$\mathbb{Z}_2 (x)$$ die doppelte Nullstelle $$x$$ wegen $$y^2+x^2=(y+x)^2$$