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Algebra Galoistheorie Mathematik

Eine Körpererweiterung vom Grad 2, die nicht galoissch ist

Eine Körpererweiterung heißt galoissch, wenn sie normal und separabel ist. Jede Körpererweiterung vom Grad 2 ist normal. Beweis Es gilt, eine nicht separable Körpererweiterung vom Grad 2 zu finden. ist nicht separabel, denn das Minimalpolynom $$y^2+x^2$$ von $$x$$ über $$\mathbb{Z}_2 (x^2)$$ hat in $$\mathbb{Z}_2 (x)$$ die doppelte Nullstelle $$x$$ wegen $$y^2+x^2=(y+x)^2$$

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Algebra Körpertheorie Mathematik

Q(i) und Q(√2) sind isomorph als Vektorräume, aber nicht als Körper

Behauptung: ℚ(i) und ℚ(√2) sind isomorphe ℚ-Vektorräume. Beweis: i hat das Minimalpolynom X2 + 1 und √2 hat das Minimalpolynom X2 – 2. Beide haben den Grad 2, die Elemente sind also algebraisch über ℚ. ℚ(i) und ℚ(√2) sind also ℚ-Vektorräume der gleichen Dimension 2 und damit isomorph. Behauptung: ℚ(i) und ℚ(√2) sind als Körper […]