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Jede Körpererweiterung vom Grad 2 ist normal

Behauptung

Jede Körpererweiterung L:K vom Grad 2 ist normal.

Beweis

Wir zeigen \([L:K] = 2 \Rightarrow L\neq K\)

Sei $$\alpha\in L\setminus K.$$

\(\alpha\) hat mindestens Grad 2 über K, das heißt das Minimalpolynom $$m_{\alpha,K}$$ hat mindestens den Grad 2.

Nach Voraussetzung hat $$m_{\alpha,K}$$ höchtens den Grad 2. Daher ist $$L = K(\alpha)$$

Sei $$\beta$$ die zweite Nullstelle von $$m_{\alpha,K}$$

$$-(\alpha + \beta)$$ ist der Koeffizient von x in $$m_{\alpha,K}$$

Daher gilt $$-(\alpha + \beta)\in K$$ und $$\beta\in K(\alpha)$$

$$\Rightarrow L$$ ist der Zerfällungskörper von $$m_{\alpha,K}$$ und damit normal über K.

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