Aufgabe | Lösung Wir bringen den Faktor mit x auf die rechte Seite und verwenden für y‘ die andere Schreibweise dy/dx $$\begin{align}(x^2+1)\cdot y‘ &= 2x \cdot y^2 \\\\ y‘ &= (x^2+1)^{-1}\cdot 2x \cdot y^2 \\\\ \frac{dy}{dx} &= (x^2+1)^{-1} \cdot 2x\cdot y^2\end{align}$$ Nun behandeln wir dy/dx wie einen normalen Bruch und bringen den „Nenner“ dx auf […]
Schlagwort: Trennung der Variablen
Aufgabe: | Lösung: $$1+x(t)^2$$ also die Steigung der gesuchten Funktion, ist überall ungleich 0. Es gibt also keine stationäre Lösung.Desweiteren ist $$1+x(t)^2$$ auf ganz $$\mathbb{R}^2$$ stetig und lokal Lipschitz bezüglich $$x$$ daher ist dieses Anfangswertproblem eindeutig lösbar. $$\begin{align}\frac{dx}{dt} &= 1+x^2\\ \frac{dx}{1+x^2} &= 1 \text{ } dt\\ \int \frac{dx}{1+x^2} &= \int 1 \text{ } dt\\ \arctan […]
Musterlösung einer Differentialgleichung Aufgabe | Lösung Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren um inhomogene lineare Differentialgleichungen zu lösen. Bevor man die inhomogene Gleichung lösen kann, muss man erst einmal die homogenen Gleichung lösen. Die kann man durch Trennung der Variablen tun oder, wenn man etwas Erfahrung hat, durch scharfes hinsehen: Um die inhomogene Gleichung […]