Musterlösung einer Differentialgleichung
Aufgabe
| \(y‘-3y=x\cdot e^{4x}\)
Lösung
Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren um inhomogene lineare Differentialgleichungen zu lösen. Bevor man die inhomogene Gleichung lösen kann, muss man erst einmal die homogenen Gleichung lösen. Die kann man durch Trennung der Variablen tun oder, wenn man etwas Erfahrung hat, durch scharfes hinsehen:
\(y‘-3y=0 \\ y_0 = K\cdot e^{3x}\quad K\in\mathbb{R}\)
Um die inhomogene Gleichung zu lösen, verwandelt man die Konstante K in eine Funktion von x:
\(y = K(x)\cdot e^{3x}\)
Nun bildet man noch die Ableitung von diesem y:
\(y’= K'(x)\cdot e^{3x} + 3~K(x)\cdot e^{3x}\)
Dieses y und y‘ setzt man in die ursprüngliche inhomogene Dgl ein und vereinfacht:
\(\begin{align*}y‘-3y &=x\cdot e^{4x}\\ \Leftrightarrow K'(x)\cdot e^{3x} + 3~K(x)\cdot e^{3x}~-3~ K(x)\cdot e^{3x} &=x\cdot e^{4x}\\ \Leftrightarrow K'(x)\cdot e^{3x} &=x\cdot e^{4x}\\ \Leftrightarrow K'(x) &=x\cdot e^{x}\end{align*}\)
Jetzt kann man mit einer (mehr oder weniger) einfachen Integration K(x) bestimmen:
\(\begin{align*}K(x) &= \int K'(x)~dx\\ &= \int x\cdot e^{x}~dx\\ &= (x-1)\cdot e^x +C \quad C\in \mathbb{R}\end{align*}\)
Dies können wir wieder oben für K(x) einsetzen und erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:
\(\begin{align*}y &= K(x)\cdot e^{3x} \\ &= ((x-1)\cdot e^x +C)\cdot e^{3x} \\ &= (x-1)\cdot e^{4x}~+~C\cdot e^{3x}\end{align*}\)