Berechne alle Nullstellen und deren Vielfachheiten von \(X^3-2\) in den Ringen \(\mathbb{Q}[X], \mathbb{R}[X], \mathbb{C}[X]\).
Lösung
1)
$$X^3 – 2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad X^3 = 2$$
hat keine Lösung über ℚ.
2)
$$X^3 – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1 = \sqrt[3]{2}$$
ist eine Lösung.
Es gibt ein Polynom $$f \in \mathbb{R}[X]$$ mit $$X^3-2 = (X-\sqrt[3]{2}) f$$
Führt man eine Polynomdivision durch, erhält man:
$$(X^3-2) / (X-\sqrt[3]{2}) = X^2+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]{4} = f$$
f ist ein Polynom zweiten Grades, die Nullstellen kann man mit der p-q-Formel suchen:
$$0 = X^2+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]{4}\\\\ \Rightarrow \lambda_{2,3} = -\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{\sqrt[3]{4}}{4}-\sqrt[3]{4}}$$
Unter dem großen Wurzelzeichen steht eine negative Zahl, also sind $$\lambda_{2,3}$$ keine reellen Zahlen. D.h. f ist irreduzibel über ℝ.
Also hat $$X^3-2$$ eine Nullstelle, $$\lambda_1$$ deren Vielfachheit 1 ist.
3)
$$0 = X^2+\sqrt[3]{2}X+\sqrt[3]{4}$$ hat über ℂ zwei Lösungen:
$$\lambda_{2,3} = -\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \pm \frac{\sqrt[6]{108}}{4}i$$
D.h. $$X^3-2 = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3)$$ hat drei Nullstellen, deren Vielfachheiten gleich 1 sind.