Beweis:
Ein Integritätsbereich I ist ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement.
Wir müssen also zeigen, dass jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses hat.
Sei a ∈ I und a ≠ 0.
Wir betrachten eine Abbildung:
\(F: I \rightarrow I\ \qquad x\mapsto ax\)
Es gilt: ax = ay ⇔ a(x-y) = 0
Weil I nullteilerfrei ist und a ≠ 0 gilt x = y.
Das heißt: F ist injektiv und weil I endlich ist, ist F auch surjektiv und damit bijektiv.
Es existiert also eine Umkehrabbildung F-1.
Setzten wir a-1 = F-1(1) haben wir die Existenz des Inversen bewiesen.
q.e.d.