Behauptung: Jeder unitäre Ring R kann in den Endomorphismenring einer endlichen abelschen Gruppen eingebettet werden. Beweis: Wie benutzen, dass jeder Ring selbst eine Gruppe ist.Dann betrachten wir die Abbildung: Ein Ringelement r wird abgebildet auf eine Abbildung, und zwar auf die Abbildung, die jedes Element x mit r multipliziert. Es gilt: $$\varphi_r (x+y) = r(x+y) […]
Schlagwort: Algebra
Wir beweisen, dass ein kommutativer Ring mit 1, der Nullteiler besitzt, keine Körper sein kann. Umgekehrt ist solch ein Ring ohne Nullteiler bereits ein Körper. Behauptung: Sei R ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0. Dann gilt:i) Ein Nullteiler ist nie eine Einheit, d.h. ein Ring mit Nullteilern ist kein Körper.ii) (R*,·) ist eine Gruppe.(Menge […]
Behauptung: In einem endlichen Ring R ist jedes Element entweder ein Nullteiler oder eine Einheit (d.h. es besitzt ein Inverses). Beweis: Wenn a Nullteiler ist sind wir fertig. Sei a kein Nullteiler. Da R endlich ist, ist die Menge $$\{a^n~|~n \in \mathbb{N}\}$$ endlich. Daher gibt es $$m,~n \in \mathbb{N}$$ mit m < n und $$a^m […]
Wir beweisen, dass es genau eine Gruppe der Ordnung 15 gibt. Dies gelingt uns mit Hilfe des dritten Satzes von Sylow und dem Chinesischen Restsatz. Beweis: Sei G eine Gruppe der Ordnung 15 = 3*5. Jede 3-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 3 und ist isomorph zu ℤ3.Jede 5-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 5 und ist isomorph zu […]
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Das direkte Produkt einer Gruppe
Wir zeigen, dass das direkte Produkt einer Gruppe mit einer bestimmten, hier definierten Verknüpfung, wieder eine Gruppe ist. Aufgabe Sei eine Gruppe.Auf der Menge $$G\times G$$ wird eine neue Verknüpfung $$*$$ erklärt mit $$(a,b)*(a‘,b‘) = (a\cdot a‘,b\cdot b‘)$$Weise nach, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist. Lösung Um zu sehen, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist, […]
Wir beweisen, dass jede endliche p-Gruppe auflösbar ist. Das heißt, sie hat eine Subnormalreihe mit abelschen Faktorgruppen. Eine Faktorgruppe ist genau dann abelsch, wenn der zugehörige Normalteiler die Kommutatorgruppe umfasst. Behauptung Sei p eine Primzahl. Dann ist jede endliche p-Gruppe auflösbar. Beweis Sei eine Gruppe der Ordnung $$p^k,~k>1$$ Dann gibt es eine Kette $$U_k \triangleright […]
Wir beweisen die Existenz von Normalteilern in Gruppen einer bestimmten Ordnung. Behauptung Sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe der Ordnung .Dann besitzt G einen Normalteiler der Ordnung pr-1. Beweis Wir beweisen diese Behauptung durch eine vollständige Induktion nach r. Induktionsanfang: r=1 $$\{e\}\triangleleft G$$ ist ein Normalteiler der Ordnung 1. Induktionsschritt: A(r-1) => […]
Mit Hilfe des Homomorphiesatzes beweisen wir ausführlich eine wichtige Folgerung. Behauptung Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler in G. sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.Dann gibt es zu jedem einen Normalteiler U von G, der den Index n in G hat. Beweis Wir suchen einen Homomorphismus $$\phi: G \rightarrow H_n$$ soll die Ordnung n haben.Dann […]
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Körpererweiterung und Gradsatz
Behauptung Sei L/K eine Körpererweiterung, a ∈ L mit [K(a) : K] ungerade.Dann folgt: K(a) = K(a2). Für [K(a) : K] gerade stimmt die Aussage nicht. Beweis 1.Teil L ist ein Köper, deshalb gilt: a ∈ L ⇒ a2 ∈ L Auch gilt: a2 ∈ K(a) Somit haben wir die Kette: K ⊆ K(a2) ⊆ […]
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Der kleine Satz von Fermat
Oder der kleine Fermat, wie er auch genannt wird. Wir zeigen den vollständigen Beweis des Satzes. Anschließend folgt noch ein anschauliches Rechenbeispiel. Behauptung: Sei eine Primzahl und eine natürliche Zahl mit . Dann gilt: . Beweis: Mit Vollständiger Induktion lässt sich zeigen: . Siehe: p teilt (n^p – n). Es ist: . (Wir haben einfach […]