Behauptung: Jeder unitäre Ring R kann in den Endomorphismenring einer endlichen abelschen Gruppen eingebettet werden. Beweis: Wie benutzen, dass jeder Ring selbst eine Gruppe ist.Dann betrachten wir die Abbildung: Ein Ringelement r wird abgebildet auf eine Abbildung, und zwar auf die Abbildung, die jedes Element x mit r multipliziert. Es gilt: $$\varphi_r (x+y) = r(x+y) […]
Schlagwort: Gruppentheorie
Wir beweisen, dass es genau eine Gruppe der Ordnung 15 gibt. Dies gelingt uns mit Hilfe des dritten Satzes von Sylow und dem Chinesischen Restsatz. Beweis: Sei G eine Gruppe der Ordnung 15 = 3*5. Jede 3-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 3 und ist isomorph zu ℤ3.Jede 5-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 5 und ist isomorph zu […]
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Das direkte Produkt einer Gruppe
Wir zeigen, dass das direkte Produkt einer Gruppe mit einer bestimmten, hier definierten Verknüpfung, wieder eine Gruppe ist. Aufgabe Sei eine Gruppe.Auf der Menge $$G\times G$$ wird eine neue Verknüpfung $$*$$ erklärt mit $$(a,b)*(a‘,b‘) = (a\cdot a‘,b\cdot b‘)$$Weise nach, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist. Lösung Um zu sehen, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist, […]
Mit Hilfe des Homomorphiesatzes beweisen wir ausführlich eine wichtige Folgerung. Behauptung Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler in G. sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.Dann gibt es zu jedem einen Normalteiler U von G, der den Index n in G hat. Beweis Wir suchen einen Homomorphismus $$\phi: G \rightarrow H_n$$ soll die Ordnung n haben.Dann […]
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Der kleine Satz von Fermat
Oder der kleine Fermat, wie er auch genannt wird. Wir zeigen den vollständigen Beweis des Satzes. Anschließend folgt noch ein anschauliches Rechenbeispiel. Behauptung: Sei eine Primzahl und eine natürliche Zahl mit . Dann gilt: . Beweis: Mit Vollständiger Induktion lässt sich zeigen: . Siehe: p teilt (n^p – n). Es ist: . (Wir haben einfach […]