Es gibt genau eine Gruppe der Ordnung 15 (Sylow)

Wir beweisen, dass es genau eine Gruppe der Ordnung 15 gibt. Dies gelingt uns mit Hilfe des dritten Satzes von Sylow und dem Chinesischen Restsatz.

Beweis:

Sei G eine Gruppe der Ordnung 15 = 3*5.

Jede 3-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 3 und ist isomorph zu ℤ₃.
Jede 5-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 5 und ist isomorph zu ℤ₅.

Nach dem dritten Satz von Sylow ist die Anzahl n₃ der 3-Sylow-Untergruppen ein Teiler von 5 und von der Form n₃ = 1+3k = {1, 4, 7, …}. D.h. es bleibt nur n₃ = 1, d.h. es gibt nur eine 3-Sylow-Untergruppe.

Für die 5-Sylow-Untergruppe gilt das gleiche:
n₅ ist ein Teiler von 3 und von der Form n₅ = 1+5k = {1, 6, 11, …}. D.h. es bleibt nur n₅ = 1, d.h. es gibt nur eine 5-Sylow-Untergruppe.

Da es nur eine 3-Sylow N und eine 5-Sylow M gibt, sind sie jeweils Normalteiler in G.

Ihr Durchschnitt ist {e}, damit hat ihr Produkt NM 15 Elemente, und damit ist das Produkt gerade G.

Nun ist G = NM isomorph zu N×M, und damit isomorph zu ℤ₃×ℤ₅, und damit (nach dem Chinesischen Restsatz) isomorph zu ℤ₁₅ (weil ggT(3,5) = 1).

G ist also isomorph zu ℤ₁₅.