Wir zeigen, dass das direkte Produkt einer Gruppe mit einer bestimmten, hier definierten Verknüpfung, wieder eine Gruppe ist.
Aufgabe
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe.
Auf der Menge $$G\times G$$ wird eine neue Verknüpfung $$*$$ erklärt mit $$(a,b)*(a‘,b‘) = (a\cdot a‘,b\cdot b‘)$$
Weise nach, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist.
Lösung
Um zu sehen, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist, muss man alle Gruppenaxiome nachweisen:
Die Abbildung ist wohldefiniert
Wenn man zwei Elemete aus der Gruppe verknüpft, dann liegt die Verknüpfung wieder in der Gruppe.
$$(G\times G)^2 \rightarrow G\times G \\\\ (a,b)*(a‘,b‘) := (a\cdot a‘,b\cdot b‘) \in G\times G.$$
Assoziativgesetz
Für alle $$(a,b), (c,d), (e,f) \in G\times G$$ gilt unter Verwendung des Assoziativgesetzes von G:
$$\quad ((a,b) * (c,d)) * (e,f)\\\\ = (a\cdot c,b\cdot d) * (e,f)\\\\ = ((a\cdot c)\cdot e,(b\cdot d)\cdot f))\\\\ = (a\cdot (c\cdot e),b\cdot (d\cdot f))\\\\ = (a,b) * ((c\cdot e),(d\cdot f))\\\\ = (a,b) * ((c,d) * (e,f))$$
Das neutrale Element
Sei $$e$$ das neutrale Element in $$G$$
Dann ist $$(e,e)$$ das neutrale Element in $$G\times G$$
Für alle $$(a,b) \in G\times G$$ gilt:
$$\quad (a,b)*(e,e)\\\\ = (a\cdot e,b\cdot e)\\\\ = (a,b)\\\\ = (e\cdot a, e\cdot b)\\\\ = (e,e)*(a,b)$$
Das Inverse
Seien $$a, b, c, d \in G$$ mit $$a\cdot c = e = c\cdot a$$ und $$b\cdot d = e = d\cdot b$$
Dann ist $$(c,d)$$ das Inverse von $$(a,b)$$
$$\quad (a,b)*(c,d)\\\\ = (a\cdot c,b\cdot d)\\\\ = (e,e)\\\\ = (c\cdot a, d\cdot b)\\\\ = (c,d)*(a,b)$$
Damit ist gezeigt, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist.
Kommutativgesetz
Wir zeigen noch, dass $$(G\times G,*)$$ genau dann eine abelsche Gruppe ist, wenn $$(G,\cdot)$$ abelsch ist:
1. Sei $$G$$ abelsch. Dann gilt $$(a,b)*(c,d) = (a\cdot c,b\cdot d) = (c\cdot a,d\cdot b) = (c,d)*(a,b)$$ für alle $$(a,b),(c,d) \in G\times G$$
2. Sei $$G\times G$$ abelsch, d.h. $$(a,c)*(b,d) = (b,d)*(a,c)$$
Daraus folgt $$a\cdot b = b\cdot a$$ für alle $$a,b \in G$$