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Mathematik Ringtheorie

Ein Ring mit Nullteilern ist kein Körper

Wir beweisen, dass ein kommutativer Ring mit 1, der Nullteiler besitzt, keine Körper sein kann. Umgekehrt ist solch ein Ring ohne Nullteiler bereits ein Körper. Behauptung: Sei R ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0. Dann gilt:i) Ein Nullteiler ist nie eine Einheit, d.h. ein Ring mit Nullteilern ist kein Körper.ii) (R*,·) ist eine Gruppe.(Menge […]

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Algebra Mathematik Ringtheorie

In einem endlichen Ring ist jedes Element entweder Nullteiler oder Einheit

Behauptung: In einem endlichen Ring R ist jedes Element entweder ein Nullteiler oder eine Einheit (d.h. es besitzt ein Inverses). Beweis: Wenn a Nullteiler ist sind wir fertig. Sei a kein Nullteiler. Da R endlich ist, ist die Menge $$\{a^n~|~n \in \mathbb{N}\}$$ endlich. Daher gibt es $$m,~n \in \mathbb{N}$$ mit m < n und $$a^m […]

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Algebra Mathematik

Es gibt genau eine Gruppe der Ordnung 15 (Sylow)

Wir beweisen, dass es genau eine Gruppe der Ordnung 15 gibt. Dies gelingt uns mit Hilfe des dritten Satzes von Sylow und dem Chinesischen Restsatz. Beweis: Sei G eine Gruppe der Ordnung 15 = 3*5. Jede 3-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 3 und ist isomorph zu ℤ3.Jede 5-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 5 und ist isomorph zu […]

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Algebra Mathematik

Das direkte Produkt einer Gruppe

Wir zeigen, dass das direkte Produkt einer Gruppe mit einer bestimmten, hier definierten Verknüpfung, wieder eine Gruppe ist. Aufgabe Sei eine Gruppe.Auf der Menge $$G\times G$$ wird eine neue Verknüpfung $$*$$ erklärt mit $$(a,b)*(a‘,b‘) = (a\cdot a‘,b\cdot b‘)$$Weise nach, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist. Lösung Um zu sehen, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist, […]

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Algebra Mathematik

Jede endliche p-Gruppe ist auflösbar

Wir beweisen, dass jede endliche p-Gruppe auflösbar ist. Das heißt, sie hat eine Subnormalreihe mit abelschen Faktorgruppen. Eine Faktorgruppe ist genau dann abelsch, wenn der zugehörige Normalteiler die Kommutatorgruppe umfasst. Behauptung Sei p eine Primzahl. Dann ist jede endliche p-Gruppe auflösbar. Beweis Sei eine Gruppe der Ordnung $$p^k,~k>1$$ Dann gibt es eine Kette $$U_k \triangleright […]

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Algebra Mathematik Vollständige Induktion

Existenz von Normalteilern in p-Gruppen

Wir beweisen die Existenz von Normalteilern in Gruppen einer bestimmten Ordnung. Behauptung Sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe der Ordnung .Dann besitzt G einen Normalteiler der Ordnung pr-1. Beweis Wir beweisen diese Behauptung durch eine vollständige Induktion nach r. Induktionsanfang: r=1 $$\{e\}\triangleleft G$$ ist ein Normalteiler der Ordnung 1. Induktionsschritt: A(r-1) => […]

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Algebra Mathematik

Der Homomorphiesatz und eine Folgerung

Mit Hilfe des Homomorphiesatzes beweisen wir ausführlich eine wichtige Folgerung. Behauptung Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler in G. sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.Dann gibt es zu jedem einen Normalteiler U von G, der den Index n in G hat. Beweis Wir suchen einen Homomorphismus $$\phi: G \rightarrow H_n$$ soll die Ordnung n haben.Dann […]

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Mathematik Vollständige Induktion

Beweis der Gaußschen Summenformel

Behauptung Wir behaupten, dass sich die Gaußsche Summenformel auf folgende Weise schreiben lässt: Beweis Induktionsanfang: n = 1 Setzen wir für n die erste natürliche Zahl 1 ein, dann ist die Behauptung wahr:$$1 = \frac{2}{2} = \frac{1(1+1)}{2}$$ Induktionsschritt: A(n) => A(n+1) Angenommen, die Behauptung gilt für alle natürlichen Zahlen 1 … n. Dann soll sie […]

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Gewöhnliche Differentialgleichungen Mathematik

Variation der Konstanten

Musterlösung einer Differentialgleichung Aufgabe | Lösung Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren um inhomogene lineare Differentialgleichungen zu lösen. Bevor man die inhomogene Gleichung lösen kann, muss man erst einmal die homogenen Gleichung lösen. Die kann man durch Trennung der Variablen tun oder, wenn man etwas Erfahrung hat, durch scharfes hinsehen: Um die inhomogene Gleichung […]

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Deep Learning Künstliche Intelligenz

Einführung in Deep Learning mit TensorFlow, Keras und Python

TensorFlow ist ein mächtiges Framework für maschinelles Lernen. Es wird von Google entwickelt und unter einer Open-Source Lizenz bereitgestellt. Keras ist eine Framework, das eine einheitliche Schnittstelle zu verschiedenen machine learning Backends, wie TensorFlow, Theano oder dem Cognitive Toolkit von Microsoft bietet. Das bedeutet, dass Code, der einmal in Keras geschrieben wurde, ohne weitere Änderung […]