Mit Hilfe des Homomorphiesatzes beweisen wir ausführlich eine wichtige Folgerung. Behauptung Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler in G. sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.Dann gibt es zu jedem einen Normalteiler U von G, der den Index n in G hat. Beweis Wir suchen einen Homomorphismus $$\phi: G \rightarrow H_n$$ soll die Ordnung n haben.Dann […]
Kategorie: Algebra
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Körpererweiterung und Gradsatz
Behauptung Sei L/K eine Körpererweiterung, a ∈ L mit [K(a) : K] ungerade.Dann folgt: K(a) = K(a2). Für [K(a) : K] gerade stimmt die Aussage nicht. Beweis 1.Teil L ist ein Köper, deshalb gilt: a ∈ L ⇒ a2 ∈ L Auch gilt: a2 ∈ K(a) Somit haben wir die Kette: K ⊆ K(a2) ⊆ […]
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Der kleine Satz von Fermat
Oder der kleine Fermat, wie er auch genannt wird. Wir zeigen den vollständigen Beweis des Satzes. Anschließend folgt noch ein anschauliches Rechenbeispiel. Behauptung: Sei eine Primzahl und eine natürliche Zahl mit . Dann gilt: . Beweis: Mit Vollständiger Induktion lässt sich zeigen: . Siehe: p teilt (n^p – n). Es ist: . (Wir haben einfach […]
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p teilt (n^p – n)
Behauptung Sei eine beliebige Primzahl. Dann gilt: für alle Dieser Beweis ist Grundlage für den kleinen Satz von Fermat. Beweis Induktionsanfang: n = 1 Für jede Primzahl gilt: Induktionsschritt: n => n+1 Angenommen, die Aussage ist richtig für alle natürlichen Zahlen bis n. Dann folgt daraus, dass die Aussage auch richtig ist für n+1: Der […]