Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Die Potenzmenge einer Menge enthält unter anderem immer die leere Menge und auch die Grundmenge selbst. Wir beweisen durch vollständige Induktion: Wenn die Grundmenge n Elemente hat, dann hat ihre Potenzmenge 2n Elemente. Behauptung Die Potenzmenge P(M) einer n-elementigen Menge M enthält genau 2n Elemente. […]
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Körpererweiterung und Gradsatz
Behauptung Sei L/K eine Körpererweiterung, a ∈ L mit [K(a) : K] ungerade.Dann folgt: K(a) = K(a2). Für [K(a) : K] gerade stimmt die Aussage nicht. Beweis 1.Teil L ist ein Köper, deshalb gilt: a ∈ L ⇒ a2 ∈ L Auch gilt: a2 ∈ K(a) Somit haben wir die Kette: K ⊆ K(a2) ⊆ […]
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Der kleine Satz von Fermat
Oder der kleine Fermat, wie er auch genannt wird. Wir zeigen den vollständigen Beweis des Satzes. Anschließend folgt noch ein anschauliches Rechenbeispiel. Behauptung: Sei eine Primzahl und eine natürliche Zahl mit . Dann gilt: . Beweis: Mit Vollständiger Induktion lässt sich zeigen: . Siehe: p teilt (n^p – n). Es ist: . (Wir haben einfach […]
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p teilt (n^p – n)
Behauptung Sei eine beliebige Primzahl. Dann gilt: für alle Dieser Beweis ist Grundlage für den kleinen Satz von Fermat. Beweis Induktionsanfang: n = 1 Für jede Primzahl gilt: Induktionsschritt: n => n+1 Angenommen, die Aussage ist richtig für alle natürlichen Zahlen bis n. Dann folgt daraus, dass die Aussage auch richtig ist für n+1: Der […]