Wir beweisen, dass es genau eine Gruppe der Ordnung 15 gibt. Dies gelingt uns mit Hilfe des dritten Satzes von Sylow und dem Chinesischen Restsatz. Beweis: Sei G eine Gruppe der Ordnung 15 = 3*5. Jede 3-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 3 und ist isomorph zu ℤ3.Jede 5-Sylow-Untergruppe hat die Ordnung 5 und ist isomorph zu […]
Schlagwort: Beweis
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Das direkte Produkt einer Gruppe
Wir zeigen, dass das direkte Produkt einer Gruppe mit einer bestimmten, hier definierten Verknüpfung, wieder eine Gruppe ist. Aufgabe Sei eine Gruppe.Auf der Menge $$G\times G$$ wird eine neue Verknüpfung $$*$$ erklärt mit $$(a,b)*(a‘,b‘) = (a\cdot a‘,b\cdot b‘)$$Weise nach, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist. Lösung Um zu sehen, dass $$(G\times G,*)$$ eine Gruppe ist, […]
Wir beweisen, dass jede endliche p-Gruppe auflösbar ist. Das heißt, sie hat eine Subnormalreihe mit abelschen Faktorgruppen. Eine Faktorgruppe ist genau dann abelsch, wenn der zugehörige Normalteiler die Kommutatorgruppe umfasst. Behauptung Sei p eine Primzahl. Dann ist jede endliche p-Gruppe auflösbar. Beweis Sei eine Gruppe der Ordnung $$p^k,~k>1$$ Dann gibt es eine Kette $$U_k \triangleright […]
Wir beweisen die Existenz von Normalteilern in Gruppen einer bestimmten Ordnung. Behauptung Sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe der Ordnung .Dann besitzt G einen Normalteiler der Ordnung pr-1. Beweis Wir beweisen diese Behauptung durch eine vollständige Induktion nach r. Induktionsanfang: r=1 $$\{e\}\triangleleft G$$ ist ein Normalteiler der Ordnung 1. Induktionsschritt: A(r-1) => […]
Mit Hilfe des Homomorphiesatzes beweisen wir ausführlich eine wichtige Folgerung. Behauptung Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler in G. sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.Dann gibt es zu jedem einen Normalteiler U von G, der den Index n in G hat. Beweis Wir suchen einen Homomorphismus $$\phi: G \rightarrow H_n$$ soll die Ordnung n haben.Dann […]
Behauptung Wir behaupten, dass sich die Gaußsche Summenformel auf folgende Weise schreiben lässt: Beweis Induktionsanfang: n = 1 Setzen wir für n die erste natürliche Zahl 1 ein, dann ist die Behauptung wahr:$$1 = \frac{2}{2} = \frac{1(1+1)}{2}$$ Induktionsschritt: A(n) => A(n+1) Angenommen, die Behauptung gilt für alle natürlichen Zahlen 1 … n. Dann soll sie […]
Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Die Potenzmenge einer Menge enthält unter anderem immer die leere Menge und auch die Grundmenge selbst. Wir beweisen durch vollständige Induktion: Wenn die Grundmenge n Elemente hat, dann hat ihre Potenzmenge 2n Elemente. Behauptung Die Potenzmenge P(M) einer n-elementigen Menge M enthält genau 2n Elemente. […]
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Der kleine Satz von Fermat
Oder der kleine Fermat, wie er auch genannt wird. Wir zeigen den vollständigen Beweis des Satzes. Anschließend folgt noch ein anschauliches Rechenbeispiel. Behauptung: Sei eine Primzahl und eine natürliche Zahl mit . Dann gilt: . Beweis: Mit Vollständiger Induktion lässt sich zeigen: . Siehe: p teilt (n^p – n). Es ist: . (Wir haben einfach […]
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p teilt (n^p – n)
Behauptung Sei eine beliebige Primzahl. Dann gilt: für alle Dieser Beweis ist Grundlage für den kleinen Satz von Fermat. Beweis Induktionsanfang: n = 1 Für jede Primzahl gilt: Induktionsschritt: n => n+1 Angenommen, die Aussage ist richtig für alle natürlichen Zahlen bis n. Dann folgt daraus, dass die Aussage auch richtig ist für n+1: Der […]