Körpererweiterung vom Grad 2, die nicht galoissch ist

Aufgabe:

Bestimme ein Körpererweiterung vom Grad 2, die nicht galoissch ist.

Lösung:

Eine Körpererweiterung heißt galoissch, wenn sie normal und separabel ist.
Jede Körpererweiterung vom Grad 2 ist normal.
Es gilt, eine nichtseparable Körpererweiterung vom Grad 2 zu finden.
$$\mathbb{Z}_2 (x) : \mathbb{Z}_2 (x^2)$$ ist nicht separabel, denn das Minimalpolynom $$y^2+x^2$$ von $$x$$ über $$\mathbb{Z}_2 (x^2)$$ hat in $$\mathbb{Z}_2 (x)$$ die doppelte Nullstelle $$x$$ wegen $$y^2+x^2=(y+x)^2$$.