Behauptung:
Eine unendliche Körpererweiterung L:K hat unendlich viele Zwischenkörper.
Beweis:
1. Fall:
Es gibt ein \( \alpha\in L \), dass transzendent über K ist.
Dann hat \( K(\alpha):K \) schon unendlich viele Zwischenkörper.
2.Fall:
L:K ist algebraisch.
Sei B eine Basis von L:K. B ist unendlich, da L:K unendlich ist.
B hat eine abzählbar unendliche Teilmenge \( A=\{a_n~|~n\in\mathbb{N}\}\)
(Die \( a_i \) sind also aus L\K.)
Die Körpererweiterung K(A):K ist unendlich.
Sei \( F_n := K(a_1,\ldots,a_n) \).
Dann sind die \( F_n \) eine aufsteigende Kette von Zwischenkörpern von L:K.
Da die \( a_i \) algebraisch über K sind, haben die \( F_n \) alle endlichen Grad über K.
Wenn es nur endlich viele Körper \( F_n \) gäbe, dann gäbe es ein k mit \( F_n = F_k \) für \( n\geq k \).
Damit wäre auch \( K(A) = F_k \), weil \( A \subseteq F_k \).
Das ist ein Widerspruch dazu, dass K(A) unendlich ist.
Also muss es unendlich viel Zwischenköper \( F_n \) geben.
q.e.d.