Assertion In a boolean ring every prime ideal is a maximal ideal.(A boolean ring is a ring for which x² = x for all x in R, that is, R consists only of idempotent elements.) Proof Let P be a a prime ideal in a boolean ring R with 1.Then is L = R/P a […]
Kategorie: Ringtheorie
Behauptung: In einem booleschen Ring mit Eins ist jedes Primideal maximal.(Ein boolescher Ring ist ein Ring, in dem jedes Element x idempotent ist, d.h. x² = x.) Beweis: Sei P ein Primideal in einem booleschen Ring R mit Eins.Dann ist L = R/P ein boolescher Ring ohne Nullteiler.L kann nicht mehr als zwei Elemente haben:Seien […]
Behauptung: Das Polynom x³ + x² + x + 2 ist irreduzibel über dem Ring der ganzen Zahlen. Beweis: Beweis durch Widerspruch:Angenommen das Polynom f = x³ + x² + x + 2 ∈ Z[x] wäre reduzibel.Dann gäbe es normierte Polynome g, h ∈ Z[x] mit gh = f.Dann hat entweder g oder h den […]
Behauptung: Jeder unitäre Ring R kann in den Endomorphismenring einer endlichen abelschen Gruppen eingebettet werden. Beweis: Wie benutzen, dass jeder Ring selbst eine Gruppe ist.Dann betrachten wir die Abbildung: Ein Ringelement r wird abgebildet auf eine Abbildung, und zwar auf die Abbildung, die jedes Element x mit r multipliziert. Es gilt: $$\varphi_r (x+y) = r(x+y) […]
Wir beweisen, dass ein kommutativer Ring mit 1, der Nullteiler besitzt, keine Körper sein kann. Umgekehrt ist solch ein Ring ohne Nullteiler bereits ein Körper. Behauptung: Sei R ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0. Dann gilt:i) Ein Nullteiler ist nie eine Einheit, d.h. ein Ring mit Nullteilern ist kein Körper.ii) (R*,·) ist eine Gruppe.(Menge […]
Behauptung: In einem endlichen Ring R ist jedes Element entweder ein Nullteiler oder eine Einheit (d.h. es besitzt ein Inverses). Beweis: Wenn a Nullteiler ist sind wir fertig. Sei a kein Nullteiler. Da R endlich ist, ist die Menge $$\{a^n~|~n \in \mathbb{N}\}$$ endlich. Daher gibt es $$m,~n \in \mathbb{N}$$ mit m < n und $$a^m […]