Wir beweisen, dass jede endliche p-Gruppe auflösbar ist. Das heißt, sie hat eine Subnormalreihe mit abelschen Faktorgruppen. Eine Faktorgruppe ist genau dann abelsch, wenn der zugehörige Normalteiler die Kommutatorgruppe umfasst.
Behauptung
Sei p eine Primzahl. Dann ist jede endliche p-Gruppe auflösbar.
Beweis
Sei \(U_k\) eine Gruppe der Ordnung $$p^k,~k>1$$
Dann gibt es eine Kette $$U_k \triangleright U_{k-1} \triangleright\ldots \triangleright U_{1}\triangleright U_{0}~=~\{e\}$$ mit $$|U_i / U_{i-1}| = p$$ für alle $$i=1,\ldots ,k$$
Damit ist $$U_i / U_{i-1}$$ zyklisch und somit abelsch.
q.e.d.