Mit Hilfe des Homomorphiesatzes beweisen wir ausführlich eine wichtige Folgerung.
Behauptung
Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler in G.
\(\varphi: G/N \rightarrow \mathbb{Z}\) sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es zu jedem \(n \in \mathbb{N}\) einen Normalteiler U von G, der den Index n in G hat.
Beweis
Wir suchen einen Homomorphismus $$\phi: G \rightarrow H_n$$
\(H_n\) soll die Ordnung n haben.
Dann ist die Faktorgruppe $$G/Kern \ \phi$$ isomorph zu $$H_n$$ und hat damit auch die Ordnung n. (Homomorphiesatz).
D.h. es gibt genau n Nebenklassen bzgl. $$Kern \ \phi$$
also ist n der Index eines Normalteilers.
Betrachte zwei kanonische Epimorphismen:
$$\pi: G \rightarrow G/N \\ \quad a \mapsto aN$$
und
$$\pi_n: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$$
Dann ist
$$\phi := \pi_n \circ \varphi \circ \pi$$
ein gesuchter surjektiver Gruppenhomomorphismus nach \(\mathbb{Z}_n\)
\(\phi: G \rightarrow{\pi} G/N \rightarrow{\varphi} \mathbb{Z} \rightarrow{\pi_n} \mathbb{Z}_n.\)
q.e.d.