Aufgabe | Lösung Wir bringen den Faktor mit x auf die rechte Seite und verwenden für y‘ die andere Schreibweise dy/dx $$\begin{align}(x^2+1)\cdot y‘ &= 2x \cdot y^2 \\\\ y‘ &= (x^2+1)^{-1}\cdot 2x \cdot y^2 \\\\ \frac{dy}{dx} &= (x^2+1)^{-1} \cdot 2x\cdot y^2\end{align}$$ Nun behandeln wir dy/dx wie einen normalen Bruch und bringen den „Nenner“ dx auf […]
Kategorie: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Aufgabe: | Lösung: $$1+x(t)^2$$ also die Steigung der gesuchten Funktion, ist überall ungleich 0. Es gibt also keine stationäre Lösung.Desweiteren ist $$1+x(t)^2$$ auf ganz $$\mathbb{R}^2$$ stetig und lokal Lipschitz bezüglich $$x$$ daher ist dieses Anfangswertproblem eindeutig lösbar. $$\begin{align}\frac{dx}{dt} &= 1+x^2\\ \frac{dx}{1+x^2} &= 1 \text{ } dt\\ \int \frac{dx}{1+x^2} &= \int 1 \text{ } dt\\ \arctan […]
Aufgabe: Löse das Anfangswertproblem: Lösung: Zuerst löst man die homogene Gleichung durch Trennung der Variablen: $$\begin{align*}y’&=-\frac{y}{x}\\ \frac{dy}{dx}&=-\frac{y}{x}\\ \frac{1}{y}dy&=-\frac{1}{x}dx\\ \int\frac{1}{y}dy&=-\int\frac{1}{x}dx\\ \ln(|y|)&=-\ln(|x|)+k_0 \quad\quad k_0\in\mathbb{R}\\ y&=\exp(-ln(|x|)+k_0)\\ y&=\exp(-ln(|x|))\cdot \exp(k_0)\\ y_h&=\frac{1}{x} \cdot k \quad\quad k\in\mathbb{R}\end{align*}$$ Bemerkung zum Betrag:Die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist entweder die Nulllösung oder stets von Null verschieden, also in jedem Intervall nur positiv oder nur […]
Musterlösung einer Differentialgleichung Aufgabe | Lösung Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren um inhomogene lineare Differentialgleichungen zu lösen. Bevor man die inhomogene Gleichung lösen kann, muss man erst einmal die homogenen Gleichung lösen. Die kann man durch Trennung der Variablen tun oder, wenn man etwas Erfahrung hat, durch scharfes hinsehen: Um die inhomogene Gleichung […]