Wir beweisen die Existenz von Normalteilern in Gruppen einer bestimmten Ordnung.
Behauptung
Sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe der Ordnung \(|G|=p^r,~r\geq 1\).
Dann besitzt G einen Normalteiler der Ordnung pr-1.
Beweis
Wir beweisen diese Behauptung durch eine vollständige Induktion nach r.
Induktionsanfang: r=1
$$\{e\}\triangleleft G$$ ist ein Normalteiler der Ordnung 1.
Induktionsschritt: A(r-1) => A(r)
Sei r > 1.
Dann gilt für das Zentrum: $$|Z(G)| = p^s,~ s\geq1$$
Nach dem ersten Satz von Sylow hat Z(G) eine Untergruppe N mit |N| = p.
Es gilt: $$N\triangleleft G’$$ für jede Untergruppe G‘ von G, die N enthält, weil:
$$N\subset Z(G) \Rightarrow gxg^{-1}=x$$ für alle $$x\in N$$ und $$g\in G’$$
D.h. die Normalteilerbedingung $$gNg^{-1}\subset N$$ für alle $$g\in G’$$ ist erfüllt.
Nach der Abzählformel hat die Faktorgruppe G/N die Ordnung:
$$!|G/N|=\frac{|G|}{|N|}=\frac{p^r}{p}=p^{r-1}$$
Nach Induktionsvoraussetzung hat G/N einen Normalteiler $$\overline{M}$$ der Ordnung $$p^{r-2}$$
Sei der kanonische Homomorphismus:
$$!\pi: G\rightarrow G/N\\ g\mapsto gN$$
und sei
$$!M=\pi^{-1}(\overline{M}) ~:=~\{g\in G~|~\pi (g) \in \overline{M}\}$$
Dann ist M ein Normalteiler in G.
Es gilt $$N\subset M$$ da N das neutrale Element in $$\overline{M}$$ ist.
Damit folgt:
$$N\triangleleft M$$, und es ist $$M/N = \overline{M}$$
Weiter gilt:
$$p^{r-2}=|\overline{M}| = \frac{|M|}{|N|} = \frac{|M|}{p}$$
also:
$$|M|=p^{r-1}$$
q.e.d.