Behauptung
Wir behaupten, dass sich die Gaußsche Summenformel auf folgende Weise schreiben lässt:
\(\sum_{k=1}^n k = 1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} \quad\text{für } \quad (n\geq 1)\)
Beweis
Induktionsanfang: n = 1
Setzen wir für n die erste natürliche Zahl 1 ein, dann ist die Behauptung wahr:
$$1 = \frac{2}{2} = \frac{1(1+1)}{2}$$
Induktionsschritt: A(n) => A(n+1)
Angenommen, die Behauptung gilt für alle natürlichen Zahlen 1 … n. Dann soll sie auch für n+1 gelten. Wir müssen also, mit Hilfe der Voraussetzung, zeigen, dass:
$$\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$
Wir beginnen damit, dass wir den (n+1)ten Summanden aus dem Summenzeichen ziehen:
$$\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + (n+1)$$
Nun können wir die Summe durch den Bruch aus der Behauptung ersetzen, denn unsere Induktionsvoraussetzung ist ja, dass beides das gleiche ist. Dies ist also die wichtigste Stelle im Beweis, an der die Induktionsvoraussetzung benutzt wird:
$$= \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)$$
Wir bringen alles auf den Hauptnenner:
$$= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$$
Wir multiplizieren aus und fassen die Terme zusammen:
$$= \frac{n^2+n+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$
Und dies ist was zu zeigen war.