Aufgabe | Lösung Wir bringen den Faktor mit x auf die rechte Seite und verwenden für y‘ die andere Schreibweise dy/dx $$\begin{align}(x^2+1)\cdot y‘ &= 2x \cdot y^2 \\\\ y‘ &= (x^2+1)^{-1}\cdot 2x \cdot y^2 \\\\ \frac{dy}{dx} &= (x^2+1)^{-1} \cdot 2x\cdot y^2\end{align}$$ Nun behandeln wir dy/dx wie einen normalen Bruch und bringen den „Nenner“ dx auf […]
Schlagwort: Differentialgleichung
Aufgabe: | Lösung: $$1+x(t)^2$$ also die Steigung der gesuchten Funktion, ist überall ungleich 0. Es gibt also keine stationäre Lösung.Desweiteren ist $$1+x(t)^2$$ auf ganz $$\mathbb{R}^2$$ stetig und lokal Lipschitz bezüglich $$x$$ daher ist dieses Anfangswertproblem eindeutig lösbar. $$\begin{align}\frac{dx}{dt} &= 1+x^2\\ \frac{dx}{1+x^2} &= 1 \text{ } dt\\ \int \frac{dx}{1+x^2} &= \int 1 \text{ } dt\\ \arctan […]
Aufgabe: Löse das Anfangswertproblem: Lösung: Zuerst löst man die homogene Gleichung durch Trennung der Variablen: $$\begin{align*}y’&=-\frac{y}{x}\\ \frac{dy}{dx}&=-\frac{y}{x}\\ \frac{1}{y}dy&=-\frac{1}{x}dx\\ \int\frac{1}{y}dy&=-\int\frac{1}{x}dx\\ \ln(|y|)&=-\ln(|x|)+k_0 \quad\quad k_0\in\mathbb{R}\\ y&=\exp(-ln(|x|)+k_0)\\ y&=\exp(-ln(|x|))\cdot \exp(k_0)\\ y_h&=\frac{1}{x} \cdot k \quad\quad k\in\mathbb{R}\end{align*}$$ Bemerkung zum Betrag:Die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist entweder die Nulllösung oder stets von Null verschieden, also in jedem Intervall nur positiv oder nur […]