y“ – 5y‘ +6y = exp(-2x)

Aufgabe:

Gesuch ist die allgemeine Lösung der lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten

$$y“ -5y’+6y=e^{-2x}$$

Lösung:

Die homogene Gleichung lautet:

$$y“ -5y’+6y=0$$

Das charateristische Polynom lautet:

$$\chi(\lambda)=\lambda^2 -5\lambda +6 = (\lambda-2)(\lambda-3)$$

Das ergibt die beiden einfachen Eigenwerte:

$$\lambda_1 = 2 \qquad \lambda_2 = 3$$

Das ergibt das Fundamentalsystem:

$$y_1=e^{2x} \qquad y_2=e^{3x}$$

Die inhomogene Gleichung lautet:

$$y“ -5y’+6y=e^{-2x}$$

Das Störglied lautet $$e^{-2x}$$ und da $$\lambda = -2$$ keine Nullstelle von $$\chi(\lambda)$$ ist, liegt keine Resonanz vor.

Der Ansatz für die spezielle Lösung ist:

$$y_s = A e^{-2x}$$

Durch Einsetzen und Koeffizientenvergleich folgt:

$$A=\frac{1}{20}$$

Damit lautet die allgemeine Lösung:

$$y=y_s + C_1~y_1+C_2~y_2\\\\ y=\frac{1}{20}~e^{-2x}+C_1~e^{2x}+C_2~e^{3x}$$