Variation der Konstanten Aufgabe 2

Aufgabe:

Anfangswertproblem:

$$\begin{align*}y’&=-\frac{y}{x}+1\\ y(2)&=\frac{3}{2}\end{align*}$$



Lösung:

Zuerst löst man die homogene Gleichung durch Trennung der Variablen:

$$\begin{align*}y’&=-\frac{y}{x}\\ \frac{dy}{dx}&=-\frac{y}{x}\\ \frac{1}{y}dy&=-\frac{1}{x}dx\\ \int\frac{1}{y}dy&=-\int\frac{1}{x}dx\\ \ln(|y|)&=-\ln(|x|)+k_0 \quad\quad k_0\in\mathbb{R}\\ y&=\exp(-ln(|x|)+k_0)\\ y&=\exp(-ln(|x|))\cdot \exp(k_0)\\ y_h&=\frac{1}{x} \cdot k \quad\quad k\in\mathbb{R}\end{align*}$$

Bemerkung zum Betrag:
Die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist entweder die Nulllösung oder stets von Null verschieden, also in jedem Intervall nur positiv oder nur negativ. Sind sie nur positiv, kann man die Betragsstriche weglassen, sind sie nur negativ, dann kann man sie mit -1 multiplitzieren und erhält wieder eine Lösung der homogenen Dgl. Deshalb kann man in diesem Fall den Betrag auch weglassen.

Um die inhomogene Gleichung zu lösen, verwandelt man die Konstante k in eine Funktion von x:

$$y = K(x)\cdot \frac{1}{x}$$

Nun bildet man noch die Ableitung von diesem y:

$$y’= K(x)\cdot (-\frac{1}{x^2}) + K'(x)\cdot \frac{1}{x}$$

Dieses y und y‘ setzt man in die ursprüngliche inhomogene Dgl ein und vereinfacht:

$$\begin{align*}y’&=-\frac{y}{x}+1\\ \Leftrightarrow K(x)\cdot (-\frac{1}{x^2}) + K'(x)\cdot \frac{1}{x}&=K(x)\cdot \frac{1}{x}\cdot (-\frac{1}{x}) +1\\ \Leftrightarrow K(x)\cdot (-\frac{1}{x^2}) + K'(x)\cdot \frac{1}{x}&=K(x)\cdot (-\frac{1}{x^2}) +1\\ \Leftrightarrow K'(x)\cdot \frac{1}{x}&=1\\ \Leftrightarrow K'(x)&=x\\ \Leftrightarrow K(x)&=\frac{1}{2}x^2+c\quad\quad c\in\mathbb{R}\end{align*}$$

Dies können wir wieder oben für K(x) einsetzen und erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:

$$\begin{align*}y &= K(x)\cdot \frac{1}{x}\\ &= (\frac{1}{2}x^2+c)\cdot \frac{1}{x}\\ &= \frac{x}{2}+\frac{c}{x}\end{align*}$$

Zur Lösung des Anfangswertproblems, das heißt zur Bestimmung der Konstanten c, werden einfach x = 2 und y = 3/2 eingesetzt:

$$\frac{3}{2}=\frac{2}{2}+\frac{c}{2}\\ \Rightarrow c=1$$

Damit lautet die Lösung des AWP:

$$y=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$$