Variation der Konstanten Aufgabe 1

Aufgabe:

$$y‘-3y=x\cdot e^{4x}$$



Lösung:

Zuerst löst man die homogene Gleichung durch Trennung der Variablen oder scharfes hinsehen:

$$y‘-3y=0 \\ y_0 = K\cdot e^{3x}\quad K\in\mathbb{R}$$

Um die inhomogene Gleichung zu lösen, verwandelt man die Konstante K in eine Funktion von x:

$$y = K(x)\cdot e^{3x}$$

Nun bildet man noch die Ableitung von diesem y:

$$y’= K'(x)\cdot e^{3x} + 3~K(x)\cdot e^{3x}$$

Dieses y und y‘ setzt man in die ursprüngliche inhomogene Dgl ein und vereinfacht:

$$\begin{align*}y‘-3y &=x\cdot e^{4x}\\ \Leftrightarrow K'(x)\cdot e^{3x} + 3~K(x)\cdot e^{3x}~-3~ K(x)\cdot e^{3x} &=x\cdot e^{4x}\\ \Leftrightarrow K'(x)\cdot e^{3x} &=x\cdot e^{4x}\\ \Leftrightarrow K'(x) &=x\cdot e^{x}\end{align*}$$

Jetzt kann man mit einer (mehr oder weniger) einfachen Integration K(x) bestimmen:

$$\begin{align*}K(x) &= \int K'(x)~dx\\ &= \int x\cdot e^{x}~dx\\ &= (x-1)\cdot e^x +C \quad C\in \mathbb{R}\end{align*}$$

Dies können wir wieder oben für K(x) einsetzen und erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:

$$\begin{align*}y &= K(x)\cdot e^{3x} \\ &= ((x-1)\cdot e^x +C)\cdot e^{3x} \\ &= (x-1)\cdot e^{4x}~+~C\cdot e^{3x}\end{align*}$$

Hier gibt’s eine weitere Aufgabe zur „Variation der Konstanten“