Trennung der Variablen Aufgabe 2

Aufgabe:

$$\begin{align}(x^2+1)\cdot y‘ &= 2x \cdot y^2 \\\\ x(0) &= \frac{1}{2}\end{align}$$

Lösung:

Wir bringen den Faktor mit x auf die rechte Seite und verwenden für y‘ die andere Schreibweise dy/dx

$$\begin{align}(x^2+1)\cdot y‘ &= 2x \cdot y^2 \\\\ y‘ &= (x^2+1)^{-1}\cdot 2x \cdot y^2 \\\\ \frac{dy}{dx} &= (x^2+1)^{-1} \cdot 2x\cdot y^2\end{align}$$

Nun behandeln wir dy/dx wie einen normalen Bruch und bringen den „Nenner“ dx auf die rechte Seite und alle y auf die linke Seite

$$\begin{align}y^{-2} dy &= (x^2+1)^{-1}\cdot 2x \; dx\end{align}$$

Dann können wir beide Seiten integrieren

$$\begin{align}\int y^{-2} dy &= \int (x^2+1)^{-1}\cdot 2x \; dx \\\\ -y^{-1} &= \int (x^2+1)^{-1}\cdot 2x \; dx \end{align}$$

Die Integration der rechten Seite erfolgt durch Substitution

$$\begin{align}u(x) := x^2+1\end{align}$$

Die Ableitung davon ist

$$\begin{align}\frac{du}{dx} &= 2x \\\\ du &= 2x \; dx \end{align}$$

Das können wir nun Einsetzen

$$\begin{align}\int (x^2+1)^{-1}\cdot 2x \; dx \\\\ &= \int u^{-1}du \\\\ &= ln(u)+c, \; c\in \mathbb{R}\end{align}$$

Rücksubstitution (für u setzen wir wieder x² + 1 ein)

$$\begin{align}-y^{-1} &= ln(x^2+1)+c \\\ y &= -(ln(x^2+1)+c)^{-1}\end{align}$$

Bestimmung der speziellen Lösung mit der Anfangsbedingung (für x wird 0 eingesetzt und für y 1/2)

$$\begin{align}y(0) &= \frac{1}{2} \\\ -(ln(0^2+1)+c)^{-1} &= \frac{1}{2} \\\ c &= -2\end{align}$$

Wie haben nun c bestimmt, das können wir oben in die allgemeine Lösung einsetzen, somit lautet die Lösung des Anfangswertproblems

$$y(x) = -(ln(x^2+1)-2)^{-1}$$