Behauptung:

$$a_1 = 2, \quad a_{n+1} = 2-\frac{1}{a_n} \\\\ \Rightarrow a_n = \frac{n+1}{n}$$

Beweis:

Induktionsanfang: n = 1

$$a_2 = 2 – \frac{1}{a_1} = 2 – \frac{1}{2} = \frac{4 – 1}{2} = \frac{2+1}{2}$$

Induktionsschritt: A(n) => A(n+1)

$$a_{n+2} = 2 – \frac{1}{a_{n+1}} = 2 – \frac{1}{\frac{n+1}{n}} = 2- \frac{n}{n+1} = \frac{2n + 2 – n}{n+1} = \frac{n+2}{n+1}$$

q.e.d.

Weiterlesen: Die Bernoulli Ungleichung