n und sqrt(n)

Behauptung:

$$n\cdot \sqrt{n}~>~n+\sqrt{n}\quad\quad (n\geq 3)$$



Beweis:

Induktionsanfang: n = 3

$$3\cdot \sqrt{3}~>~5~>~3+\sqrt{3}$$

Induktionsschritt: A(n) => A(n+1)

$$\begin{align*} (n+1)\cdot \sqrt{n+1}\\ =~n\cdot \sqrt{n+1}+ \sqrt{n+1}\\ >~n\cdot \sqrt{n} +\sqrt{n+1}\\ \overset{\text{I.V.}}{>}~n+ \sqrt{n} +\sqrt{n+1}\\ >~n+ 1 +\sqrt{n+1}\\ >~(n+ 1) +\sqrt{n+1}\end{align*}$$

q.e.d

Weiterlesen: n! > 2n