Ein Produkt

Behauptung:

$$4^1\cdot 4^2\cdot 4^3\cdot\ldots\cdot 4^n~=~\prod_{k=1}^{n} 4^k~=~2^{n(n+1)}\quad\quad (n\geq1)$$



Beweis:

Induktionsanfang: n = 1

$$4^1=4=2^2=2^{1\cdot (1+1)}$$

Induktionsschritt: A(n) => A(n+1)

$$\begin{align*}\prod_{k=1}^{n+1} 4^k &=~\left(\prod_{k=1}^{n} 4^k\right) \cdot 4^{n+1}\\\\ &\overset{\text{I.V.}}{=}~2^{n(n+1)} \cdot 4^{n+1}\\\\ &=~2^{n(n+1)} \cdot 2^{2(n+1)}\\\\ &=~2^{n^2 +n} \cdot 2^{2n+2}\\\\ &=~2^{n^2+3n+2}\\\\ &=~2^{(n+1)(n+2)}\end{align*}$$

q.e.d.

Weiterlesen: Jede natürliche Zahl n >= 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen