Die n-te Ableitung

Behauptung:

Die n-te Ableitung von $$f(x) = e^{ax+b}$$ lautet: $$f^{(n)} = a^n e^{ax+b} \quad (n \geq 0)$$



Beweis:

Induktionsanfang: n = 0

$$f^{(0)} = a^0 e^{ax+b} = e^{ax+b} = f(x)$$

Induktionsschritt: A(n) => A(n+1)

$$f^{n+1}(x) = (f^n(x))‘ = (a^n e^{ax+b})‘ = a\cdot a^n e^{ax+b} = a^{n+1} e^{ax+b}$$

q.e.d.

Weiterlesen: p teilt (n^p – n)