2^n > n^3

Behauptung:

$$2^n~>~n^3\quad\quad (n\geq 10)$$



Beweis:

Induktionsanfang: n = 10

$$2^{10} = 1024 > 1000 = 10^3$$

Induktionsschritt: A(n) => A(n+1)

$$\begin{align*}2^{n+1} &=~2\cdot 2^n\\ &\overset{\text{I.V.}}{>}~2\cdot n^3\\ &=~n^3+n^3\\ &>~n^3+7n^2\\ &=~n^3+3n^2+3n^2+n^2\\ &>~n^3+3n^2+3n+1\\ &=~(n+1)^3\end{align*}$$

Weiterlesen: Eine Summe