2n³ + 3n² + n ist durch 6 teilbar

Behauptung:

$$2n^3 +3n^2+n \quad \text{ ist ohne Rest durch 6 teilbar }\quad (n\geq 0)$$



Beweis:

Induktionsanfang: n = 0

$$2\cdot 0^3 +3\cdot 0^2+0 = 0 \quad \text{ ist ohne Rest durch 6 teilbar}$$

Induktionsschritt: A(n) => A(n+1)

$$\begin{array}{l l l}\\2(n+1)^3+3(n+1)^2+(n+1) &= &2(n^3+3n^2+3n+1)+3(n^2+2n+1)+(n+1)\\&= &2n^3+6n^2+6n+2+3n^2+6n+3+n+1\\&= &2n^3+9n^2+13n+6\\&= &2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6\\&= &(2n^3+3n^2+n) + 6(n^2+2n+1)\\\end{array}$$

Der erste Summand ist nach Induktionsvoraussetzung durch 6 teilbar. Der zweite Summand ist ein Vielfaches von 6, also auch durch 6 teilbar. Damit ist der ganze Term durch 6 teilbar und die Behauptung bewiesen.

Weiterlesen: Die n-te Ableitung