Aufgabe 2

Aufgabe:

Löse die Ungleichung
$$!\frac{2}{x-1} \geq 5$$
Gibt das Intervall an, für das x die Ungleichung erfüllt.

Lösung:

Wir bringen die 5 auf die linke Seite und vereinfachen die Ungleichung etwas:

$$!\begin{align*}\frac{2}{x-1} &\geq 5\\\\ \Leftrightarrow \frac{2}{x-1} -5 &\geq 0\\\\ \Leftrightarrow \frac{2-5(x-1)}{x-1} &\geq 0\\\\ \Leftrightarrow \frac{7-5x}{x-1} &\geq 0\end{align*}$$

Der Bruch ist für x = 1 nicht definiert, er ist 0 bei x = 7/5.
Der Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner beide positiv oder beide negativ sind. Er ist negativ, wenn Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen haben. Wir schauen uns die Informationen in einer Tabelle an:

x < 1 x = 1 1 < x < 7/5 x = 7/5 7/5 < x
7-5x + + + 0
x-1 0 + + +
(7-5x) / (x-1) undef + 0

Wir sehen, der Bruch ist nur größer 0, wenn x zwischen 1 und 7/5 liegt, daher ist die Lösungsmenge das Intervall (1, 7/5].

Die Lösung können wir uns verdeutlichen, wenn wir ein Bild des Bruchs (7-5x) / (x-1) zeichnen. Wir sehen, der Graph ist größergleich 0, wenn wenn x im Intervall (1, 7/5] = (1, 1.4] liegt.

Bild des Graphen

Zeichnen wir ein Bild des ursprünglichen Bruchs 2/(x-1), dann sehen wir, dass der Graph in genau dem gleichen Intervall größergleich 5 ist.

Bild des original Graphen