Momentangeschwindigkeit

Im Gegensatz zur Durchschnittsgeschwindigkeit fragen wir uns jetzt, wie schnell der fallende Stein bei der Zeit
a) t = 1
b) t = 2 ist.

Lösung:

Die durchschnittliche Geschwindigkeit über ein Zeitintervall lässt sich mit einfachen Mitteln berechnen. Nun wollen wir wissen: Welche Geschwindigkeit hat der Stein zu einem bestimmten Zeitpunkt? Hätte der Stein einen Tacho, was würde der zu diesem Zeitpunkt anzeigen?

a) Um die Frage zu beantworten beginnen wir damit, die Durchschnittsgeschwindigkeit für ein Intervall [1, 1+h], beginnend bei 1 und mit Länge h, zu berechnen:

$$!\frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{4,9\cdot (1+h)^2 – 4,9\cdot 1^2}{h}$$

Wir können nun nicht einfach h = 0 setzen, denn dadurch dürfen wir nicht teilen. Aber, wir können das Intervall immer kleiner machen und hoffen, dass sich dann der Quotient einer bestimmten Zahl annähert, welche dann der Geschwindigkeit bei t = 1 enspricht.
Hier ein paar Werte von Δy/Δt für entsprechende h:

h Δy/Δt
1 14,7
0,1 10,29
0,01 9,8490
0,001 9.8049
0,0001 9,8005

Es scheint so, als würden diese Durchschnittsgeschwindigkeiten immer näher an 9,8 m/s streben, umso mehr sich die Länge des Intervalls an 0 annähert. Das deutet darauf hin, dass die Geschwindigkeit des Steins eine Sekunde nach dem Start 9,8 m/s beträgt.

b) Die folgende Tabelle zeigt Werte für immer kleiner werdende Intervalle [2, 2+h]:

h Δy/Δt
1 24,5
0,1 20,09
0,01 19,649
0,001 19,6049
0,0001 19,6005

Das deutet darauf hin, dass die Geschwindigkeit des Steins zwei Sekunden nach dem Start 19,6 m/s beträgt.