Limes von Funktionen 1

Wie verhält sich die Funktion

$$!f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$$

bei x = 1?

Lösung

Die Funktion ist für x = 1 nicht definiert, denn sonst wäre der Nenner 0.

f lässt sich aber vereinfachen:

$$!f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad\text{fuer} \quad x\neq 1.$$

Hier der Graph von f mit der Definitionslücke bei x = 1:

graph of the function

Man sieht deutlich, wenn x nahe bei 1 ist, dann sind die Werte f(x) nahe bei 2.

Man sagt: „Der Limes von f(x) ist 2 für x gegen 1″.

Und schreibt:

$$!\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \quad \text{oder} \quad \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = 2$$