Limes, der erste Kontakt

Im Artikel über die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit eines fallenden Steins im Zeitintervall [t, t+h]:

$$!\frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{4,9\cdot (t+h)^2 – 4,9\cdot t^2}{h}$$

Um die Geschwindigkeit für einen bestimmten Zeitpunkt zu finden, wurde die Länge h des Intervalls immer kleiner gemacht.
Tatsächlich wurde der Limes (der Grenzwert) für h gegen 0 berechnet. Dies schreibt man so:

Geschwindigkeit zur Zeit t

$$!= \lim_{h\to 0} \frac{4,9\cdot (t+h)^2 – 4,9\cdot t^2}{h}$$

Leider kann man den Grenzwert nicht einfach berechnen, indem man für h Null einsetzt, denn dadurch kann man nicht teilen. Aber man kann einige Umformungen durchführen:

$$!\begin{align*}\frac{4,9\cdot (t+h)^2 – 4,9\cdot t^2}{h} &=\frac{4,9\cdot (t^2 + 2th + h^2 -t^2)}{h}\\\\ &=\frac{4,9\cdot (2th + h^2)}{h}\\\\ &=4,9\cdot (2t + h)\\\\ &=9,8t + 4,9h\end{align*}$$

Nun gilt einfach: 9,8t + 4,9(0) = 9,8t wenn h die 0 erreicht.

Damit lassen sich die Momentangeschwindigkeiten leicht ausrechnen:

t Sekunden nachdem der Stein losgelassen wurde, hat er eine Geschwindigkeit von 9,8t m/s.

Speziell gelten für t = 1: 9,8 m/s und t = 2: 19,6 m/s.