Einseitiger Limes

Aufgabe:
Sei

$$!f(x) = \frac{|x-2|}{x^2+x-6}$$

Bestimme

$$!\lim_{x \to 2+} f(x), \quad \lim_{x \to 2-} f(x) \quad \text{und} \quad \lim_{x \to 2} f(x)$$

Lösung:
Für x > 2 ist |x – 2| = x – 2. Damit gilt:

$$!\begin{align*}\lim_{x \to 2+} f(x) &= \lim_{x \to 2+} \frac{x-2}{x^2+x-6}\\\\ &= \lim_{x \to 2+} \frac{x-2}{(x-2)(x+3)}\\\\ &= \lim_{x \to 2+} \frac{1}{x+3}\\\\ &= \frac{1}{5}\end{align*}$$

Für x < 2 ist |x – 2| = -(x – 2). Damit gilt:

$$!\begin{align*}\lim_{x \to 2-} f(x) &= \lim_{x \to 2-} \frac{-(x-2)}{x^2+x-6}\\\\ &= \lim_{x \to 2-} \frac{-(x-2)}{(x-2)(x+3)}\\\\ &= \lim_{x \to 2-} \frac{-1}{x+3}\\\\ &= -\frac{1}{5}\end{align*}$$

Man sieht: $$\lim_{x \to 2+} f(x) \neq \lim_{x \to 2-} f(x)$$

Damit gilt: $$\lim_{x \to 2} f(x)$$ existiert nicht.

Das Verhalten der Funktion im Punkt x = 2 wird deutlich, wenn wir den Graph plotten:

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