Der Flächeninhalt eines Kreises

Alle Kreise sind ähnliche geometrische Figuren. Alle Kreise haben das gleiche Verhältnis von Umfang U zu Durchmesser D = 2r (r = Radius). Man definiert die Zahl π als dieses Verhältnis:

$$!\frac{U}{D}=\frac{U}{2r} = \pi \quad\text{oder}\quad U = 2\pi r$$

In der Schule lernt man, dass der Flächeninhalt A eines Kreises diese Zahl π multipliziert mit dem Radius zum Quadrat ist:

$$!A = \pi r^2$$

Diese Formel fällt nicht vom Himmel, sondern sie lässt sich herleiten aus der Formel für den Umfang, die π definiert hat. Dazu betrachten wir den Kreis als „Grenzwert“ von Vielecken, welche wiederum aus Dreiecken zusammengesetzt sind. Und Dreiecke sind sehr einfache Figuren.
Betrachte einen Kreis vom Radius r. Darin ist ein n-Eck einbeschrieben. Seitenlänge Pn und Flächeninhalt An des n-Ecks sind natürlich kleiner als Umfang U und Inhalt A des Kreises. Aber wenn n groß ist, dann ist Pn nahe an U und An nahe an A.
Man kann erwarten, dass Pn gegen den Limes U und An gegen den Limes A strebt, wenn n größer und größer wird und gegen Unendlich strebt.

Area of a circle

Das reguläre n-Eck ist die Vereinigung von n kongruenten, gleichschenkligen Dreiecken, die eine gemeinsame Ecke in 0 haben, dem Zentrum des n-Ecks. (Man sieht oben das Dreieck 0AB). Der Kreis habe Radius 1, dann hat er einen Umfang von 2π. Der gesamte Winkel um 0 ist 2π (im Bogenmaß), damit ist der Winkel A0B 2π/n. Sei M der Mittelpunkt von AB, dann teilt 0M den Winkel A0B.
Mit elementarer Trigonometrie können wir die Länge von AB und den Inhalt des Dreiecks 0AB in Abhängigkeit vom Radius r schreiben:

$$!|AB| = 2|AM| = 2r \sin{\frac{\pi}{n}}\\\\\\ \text{Inhalt von } 0AB = \frac{1}{2}|AB| |0M|\\\\ = \frac{1}{2} (2r \sin{\frac{\pi}{n}})(r \cos{\frac{\pi}{n}})\\\\ = r^2 \sin{\frac{\pi}{n}} cos{\frac{\pi}{n}}$$

Seitenlänge Pn und Flächeninhalt An des n-Ecks sind n-mal diese Ausdrücke:

$$!P_n = 2rn \sin{\frac{\pi}{n}}\\\\ A_n = r^2 n \sin{\frac{\pi}{n}} \cos{\frac{\pi}{n}}$$

Erste Gleichung durch 2 teilen ergibt:

$$!r n \sin{\frac{\pi}{n}} = \frac{P_n}{2}$$

Dieses in die zweite Gleichung einsetzen:

$$!A_n = \left(\frac{P_n}{2}\right) r \cos{\frac{\pi}{n}}$$

Der Winkel A0M = π/n geht gegen 0, wenn n sehr groß wird, also geht der Cosinus cos(π/n) = |0M| / |0A| gegen 1.
Pn geht gegen U = 2πr, wenn n sehr groß wird.

Das bedeutet, die Formel für An geht gegen (2πr/2) r 1 = πr2, was somit der Flächeninhalt des Kreises sein muss.