x^3+x^2+x+2 ist irreduzibel über den ganzen Zahlen

Behauptung:

Das Polynom x³ + x² + x + 2 ist irreduzibel über dem Ring der ganzen Zahlen.

Beweis:

Beweis durch Widerspruch:
Angenommen das Polynom f = x³ + x² + x + 2Z[x] wäre reduzibel.
Dann gäbe es normierte Polynome g, hZ[x] mit gh = f.
Dann hat entweder g oder h den Grad 1, es ist also ein Linearfaktor von f.
Das bedeutet aber, dass f eine ganzzahlige Nullstelle hat.
Wie man leicht sieht hat f aber keine ganzzahlige Nullstelle.
Widerspruch!