Unitären Ring einbetten in einen Endomorphismenring

Behauptung:

Jeder unitäre Ring R kann in den Endomorphismenring einer endlichen abelschen Gruppen eingebettet werden.

Beweis:

Wie benutzen, dass jeder Ring selbst eine Gruppe ist.
Dann betrachten wir die Abbildung:

$$!\varphi: R\rightarrow End(R,+)\\\\ \qquad r\mapsto (\varphi_r:x\mapsto rx)$$

Ein Ringelement r wird abgebildet auf eine Abbildung, und zwar auf die Abbildung, die jedes Element x mit r multipliziert.

Es gilt:

$$\varphi_r (x+y) = r(x+y) = rx+ry=\varphi_r(x)+\varphi_r(y)$$
$$\varphi_{r+s} (x) = (r+s)x = rx+sx=\varphi_r (x)+\varphi_s (x)= (\varphi_r+\varphi_s) (x)$$
$$\varphi_{rs} (x) = (rs)x = r(sx) = \varphi_r(\varphi_s(x))=(\varphi_r\varphi_s)(x)$$
für feste $$r, s\in R$$ und alle $$x\in R.$$

Das bedeutet: $$\varphi_r \in End(R,+)$$ und damit ist $$\varphi$$ ein Ringhomomorphismus.
$$\varphi$$ ist injektiv, denn:

$$\quad \varphi(r) = 0 \\ \Rightarrow r = r\cdot 1 = \varphi_r(1) = \varphi(r)(1) = 0.$$

Somit wurde der Ring R mit 1 in den Endomorphismenring seiner eigenen abelschen Gruppe eingebettet.

q.e.d.