Endlicher Ring Aufgabe 1

Behauptung:

In einem endlichen Ring R ist jedes Element $$a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ entweder ein Nullteiler oder eine Einheit (d.h. es besitzt ein Inverses).

Beweis:

Wenn a Nullteiler ist sind wir fertig.

Sei a kein Nullteiler.

Da R endlich ist, ist die Menge $$\{a^n~|~n \in \mathbb{N}\}$$ endlich.

Daher gibt es $$m,~n \in \mathbb{N}$$ mit m < n und $$a^m = a^n$$.

Daraus folgt:

$$a^m = a^n\\\\ a^m – a^n = 0\\\\ a^m\cdot (1-a^{n-m})=0$$

Da $$a$$ kein Nullteiler ist, ist $$a^m \neq 0$$

Daher muss $$1-a^{n-m} = 0$$ sein.

Daraus folgt:

$$1-a^{n-m} = 0\\\\ 1 = a^{n-m}\\\\ 1 = a\cdot a^{n-m-1}$$

Das heißt, $$a^{n-m-1}$$ ist das Inverse von a und a ist eine Einheit.

q.e.d.