Einheiten und Nullteiler

Behauptung:

Sei R ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0. Dann gilt:
i) Ein Nullteiler ist nie eine Einheit, d.h. ein Ring mit Nullteilern ist kein Körper.
ii) (R*,·) ist eine Gruppe.
(Menge der Einheiten R* := {a ∈ R : Es gibt ein b ∈ R mit ab = ba = 1})
iii) R* = R{0} ⇔ R ist ein Körper.



Beweis:

i)
Sei a ∈ R ein Nullteiler, d.h. a ≠ 0 und es gibt ein b ≠ 0 mit 0 = ab.
Wenn a eine Einheit wäre, dann gäbe es ein c mit ca = 1.
Dann wäre: 0 = c0 = c(ab) = (ca)b = 1b = b.
Widerspruch, denn b ≠ 0.

a ist also keine Einheit und R kann kein Körper sein, denn in einem Körper hat jedes Element ≠ 0 ein multiplikatives Inverses.

ii)
Seien a, b ∈ R*. Dann gibt es c, d ∈ R mit ac = 1 = bd.
Es gilt:
1 = bd = db = d1b = dacb = dcab
Das heißt ab hat das multiplikative Inverse dc, a·b liegt also in R*, R* ist also abgeschlossen unter der Multiplikation.

Das Assoziativgesetz gilt in R* weil es in R gilt.

Es ist das neutrale Element 1 ∈ R*, denn 1 = 1·1 und 1 ≠ 0.

Zu a ∈ R* liegt das Inverse nach Definition von R* in R*.

Alle Gruppenaxiome sind erfüllt.

iii)
Ein Körper ist nach Definition ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0, in dem jedes a ≠ 0 ein multiplikatives Inverses hat.