In einem booleschen Ring ist jedes Primideal maximal

Behauptung:

In einem booleschen Ring mit Eins ist jedes Primideal maximal.
(Ein boolescher Ring ist ein Ring, in dem jedes Element x idempotent ist, d.h. x² = x.)

Beweis:

Sei P ein Primideal in einem booleschen Ring R mit Eins.
Dann ist L = R/P ein boolescher Ring ohne Nullteiler.
L kann nicht mehr als zwei Elemente haben:
Seien x ≠ 0 und y ≠ 0 zwei beliebige Elemente aus L und z := xy.

z = xy
=> xz = xxy
=> xz = xy | da xx = x² = x
=> 0 = xy – xz
=> 0 = x(y-z)

Da L keine Nullteiler hat ist y = z.
Analog schließt man x = z und somit x = y.
Also hat L außer 0 höchstens ein weiteres Element.

Hier hat R/P genau zwei Elemente, da RP.
R/P ist also isomorph zu ℤ/2ℤ und damit ein Körper.
Somit ist P ein maximales Ideal.