Q(i) und Q(√2) sind Isomorph als Vektorräume, aber nicht als Körper

Behauptung:

ℚ(i) und ℚ(√2) sind isomorphe ℚ-Vektorräume.

Beweis:

i hat das Minimalpolynom X2 + 1 und √2 hat das Minimalpolynom X2 – 2. Beide haben den Grad 2, die Elemente sind also algebraisch über ℚ.

ℚ(i) und ℚ(√2) sind also ℚ-Vektorräume der gleichen Dimension 2 und damit isomorph.

Behauptung:

ℚ(i) und ℚ(√2) sind als Körper nicht isomorph.

Beweis:

Angenommen ℚ(i) und ℚ(√2) sind als Körper isomorph.

Dann gibt es einen Körperisomorphismus
φ: ℚ(i) → ℚ(√2)

Es gilt:
φ(1) = 1 ⇒ -φ(1) = φ(-1) = -1

Damit gilt weiter:
(φ(i))2 = φ(i2) = φ(-1) = -1

Das heißt, es muss in ℚ(√2) ein Element x = φ(i) geben, mit x2 = -1.

Das kann aber nicht sein, denn es ist x2 ≥ 0 für alle x ∈ ℚ(√2).

Wir haben einen Widerspruch und die beiden Körper können nicht isomorph sein.